Ángulo y velocidad angular
El ángulo abarcado en un movimiento
circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia
recorrida y el radio.
La longitud del arco y el radio de la
circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular
es una magnitud adimensional, llamada radián.
Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la
circunferencia, y la circunferencia completa tiene radianes.
La velocidad angular es
la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:
Partiendo de estos conceptos se
estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su
trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo
físico cinemático.
Vector de posición
Se considera un sistema de referencia en el plano xy,
con vectores unitarios en la dirección de
estos ejes .
La posición de la partícula en función del ángulo de giro y del radio r es
en un sistema de referencia cartesiano xy:
De modo que el vector de posición de la
partícula en función del tiempo es:
siendo:
: es el vector de
posición de la partícula.
: es el radio de la
trayectoria.
Al ser un movimiento
uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales
desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):
El ángulo (φ),
debe medirse en radÍanes:
donde s es
la longitud del arco de circunferencia
Según esta definición:
Según esta definición:
1 vuelta = 360° = 2 π radianes
½ vuelta = 180° = π radianes
¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes
¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes
Velocidad tangencial
La velocidad se
obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:
en donde se ve la
relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial
El vector velocidad
es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar y
comprobando que es nulo.
Aceleración
Así pues, el vector
aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la
trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por
lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.
El módulo de la
aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque
lo podemos expresar también en función de la celeridad de la partícula, ya
que, en virtud de la relación , resulta
Esta aceleración es la única que experimenta la
partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular,
por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una
trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.
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