FÍSICA I : POTENCIAL ELÉCTRICO Y CAPACITANCIA

POTENCIAL ELÉCTRICO

El potencial eléctrico o potencial electrostático en un punto, es el trabajo que debe realizar un campo electrostático para mover una carga positiva q desde dicho punto hasta el punto de referencia, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga positiva unitaria q desde el punto de referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por:

$V = \frac{W}{q} \,\!$

El potencial eléctrico sólo se puede definir para un campo estático producido por cargas que ocupan una región finita del espacio. Para cargas en movimiento debe recurrirse a los potenciales de Liénard-Wiechert para representar un campo electromagnético que además incorpore el efecto de retardo, ya que las perturbaciones del campo eléctrico no se pueden propagar más rápido que la velocidad de la luz. Si se considera que las cargas están fuera de dicho campo, la carga no cuenta con energía y el potencial eléctrico equivale al trabajo necesario para llevar la carga desde el exterior del campo hasta el punto considerado. La unidad del Sistema Internacional es el voltio (V). Todos los puntos de un campo eléctrico que tienen el mismo potencial forman una superficie equipotencial. Una forma alternativa de ver al potencial eléctrico es que a diferencia de la energía potencial eléctrica o electrostática, él caracteriza sólo una región del espacio sin tomar en cuenta la carga que se coloca allí.

Trabajo eléctrico y energía potencial eléctrica

Considérese una carga electrica puntual $q$ en presencia de un campo eléctrico $\vec E$ . La carga experimentará una fuerza eléctrica:

$\vec F=q \vec E \,\!$

Esta fuerza realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto A a otro B, de tal forma que para producir un pequeño desplazamiento $dl$ la fuerza eléctrica hará un trabajo diferencial $dW$ expresado como:

$dW=\vec F \cdot d \vec l = q \vec E \cdot d \vec {l} \,\!$

Por lo tanto, integrando la expresión se obtiene el trabajo total realizado por el campo eléctrico:

$W=\int_{A}^{B} q\vec E \cdot d \vec l \,\!$

Un caso particular de la fórmula anterior, es el de un campo eléctrico definido creado por una carga puntual estática Q. Sea una carga puntual $q$ que recorre una determinada trayectoria A - B en las inmediaciones de una carga $Q$ tal y como muestra la figura 1. Siendo $dr$ el desplazamiento infinitesimal de la carga $q$ en la dirección radial, el trabajo diferencial $dW$ se puede expresar así:

$W = \int \vec F \cdot d \vec l= \int F \, dl \cos(\theta)=\int F \, dr \,\!$

Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante $r_A \,\!$ de la carga $Q$ y la posición final B, distante $r_B \,\!$ de la carga $Q$ :

$W=\int_{r_A}^{r_B} F dr =\int_{r_A}^{r_B} \frac {1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Qq}{r^2} \, dr=\frac {Qq}{4\pi{\epsilon}_0}\left(\frac{1}{r_A}-\frac {1}{r_B}\right)$

De la expresión se concluye que el trabajo $W$ no depende de la trayectoria seguida por la partícula, sólo depende de la posición inicial y final, lo cual implica que la fuerza eléctrica ${\vec F} \,\!$ es una fuerza conservativa. Por lo tanto se puede definir una energía potencial que permite calcular el trabajo más fácilmente:

$E_p=\frac {1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Qq}{r}$

El trabajo realizado por la fuerza eléctrica para desplazar una partícula entre A y B será:

$W = -\Delta E_p = E_{p_A} - E_{p_B}$

Por convención, el nivel cero de energía potencial se suele establecer en el infinito, es decir, si y sólo si $r=\infty \rightarrow E_p=0 \,\!$ .

Diferencia de potencial eléctrico

Considérese una carga de prueba positiva $q_0 \,\!$ en presencia de un campo eléctrico y que se traslada desde el punto A al punto B conservándose siempre en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga, la diferencia de potencial eléctrico se define como:

$V_B - V_A= \frac {W_{AB}}{q_0} \,\!$

El trabajo $W_{AB} \,\!$ puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos el potencial eléctrico en B será respectivamente mayor, menor o igual que el potencial eléctrico en A. La unidad en el SI para la diferencia de potencial que se deduce de la ecuación anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1 joule/coulomb.

Un electronvoltio (eV) es la energía adquirida para un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 V, 1 eV = 1,6x10^-19 J. Algunas veces se necesitan unidades mayores de energía, y se usan los kiloelectronvoltios (keV), megaelectronvoltios (MeV) y los gigaelectronvoltios (GeV). (1 keV=10³ eV, 1 MeV = 10⁶ eV, y 1 GeV = 10⁹ eV).

Aplicando esta definición a la teoría de circuitos y desde un punto de vista más intuitivo, se puede decir que el potencial eléctrico en un punto de un circuito representa la energía que posee cada unidad de carga al paso por dicho punto. Así, si dicha unidad de carga recorre un circuito constituyendóse en corriente eléctrica, ésta irá perdiendo su energía (potencial o voltaje) a medida que atraviesa los diferentes componentes del mismo. Obviamente, la energía perdida por cada unidad de carga se manifestará como trabajo realizado en dicho circuito (calentamiento en una resistencia, luz en una lámpara, movimiento en un motor, etc.). Por el contrario, esta energía perdida se recupera al paso por fuentes generadoras de tensión. Es conveniente distinguir entre potencial eléctrico en un punto (energía por unidad de carga situada en ese punto) y corriente eléctrica (número de cargas que atraviesan dicho punto por segundo).

Usualmente se escoge el punto A a una gran distancia (en rigor el infinito) de toda carga y el potencial eléctrico $V_A \,\!$ a esta distancia infinita recibe arbitrariamente el valor cero. Esto permite definir el potencial eléctrico en un punto poniendo $V_A =0 \,\!$ y eliminando los índices:

$V=\frac {W}{q_0} \,\!$

siendo $W \,\!$ el trabajo que debe hacer un agente exterior para mover la carga de prueba $q_0 \,\!$ desde el infinito al punto en cuestión.

Obsérvese que la igualdad planteada depende de que se da arbitrariamente el valor cero al potencial $V_A \,\!$ en la posición de referencia (el infinito) el cual hubiera podido escogerse de cualquier otro valor así como también se hubiera podido seleccionar cualquier otro punto de referencia.

También es de hacer notar que según la expresión que define el potencial eléctrico en un punto, el potencial en un punto cercano a una carga positiva aislada es positivo porque debe hacerse trabajo positivo mediante un agente exterior para llevar al punto una carga de prueba (positiva) desde el infinito. Similarmente, el potencial cerca de una carga negativa aislada es negativo porque un agente exterior debe ejercer una fuerza (trabajo negativo en este caso) para sostener a la carga de prueba (positiva) cuando esta (la carga positiva) viene desde el infinito.

Por último, el potencial eléctrico queda definido como un escalar porque $W \,\!$ y $q_0 \,\!$ son escalares.

Tanto $W_{AB} \,\!$ como $V_B-V_A \,\!$ son independientes de la trayectoria que se siga al mover la carga de prueba desde el punto A hasta el punto B. Si no fuera así, el punto Bno tendría un potencial eléctrico único con respecto al punto A y el concepto de potencial sería de utilidad restringida.

Una carga de prueba puede trasladarse desde A hacia B siguiendo la trayectoria I sobre una recta radial o la trayectoria II completamente arbitraria.Es posible demostrar que las diferencias de potencial son independientes de la trayectoria para el caso especial representado en la figura. Para mayor simplicidad se han escogido los puntos A y B en una recta radial.

La trayectoria II puede considerarse equivalente a una trayectoria quebrada formada por secciones de arco y secciones radiales alternadas. Puesto que estas secciones se pueden hacer tan pequeñas como se desee, la trayectoria quebrada puede aproximarse a la trayectoria II tanto como se quiera. En la trayectoria II el agente externo hace trabajo solamente a lo largo de las secciones radiales, porque a lo largo de los arcos, la fuerza $\vec F \,\!$ y el corrimiento $\vec dl \,\!$ son perpendiculares y en tales casos $\vec F \, d\vec l \,\!$ es nulo. La suma del trabajo hecho en los segmentos radiales que constituyen la trayectoria II es el mismo que el trabajo efectuado en la trayectoria I, porque cada trayectoria está compuesta del mismo conjunto de segmentos radiales. Como la trayectoria II es arbitraria, se ha demostrado que el trabajo realizado es el mismo para todas las trayectorias que unen A con B.

Aun cuando esta prueba sólo es válida para el caso especial ilustrado en la figura, la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria para dos puntos cualesquiera en cualquier campo eléctrico. Se desprende de ello el carácter conservativo de la interacción electrostática el cual está asociado a la naturaleza central de las fuerzas electrostáticas.

Para un par de placas paralelas en las cuales se cumple que ${V}={Ed} \,\!$ , donde d es la distancia entre las placas paralelas y E es el campo eléctrico constante en la región entre las placas.

Potencial debido a una carga puntual

$\vec E \cdot d\vec {l}\,\!=E \cos(180^\circ) \, dl=-E \, dl \,\!$ Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura. Según se muestra, $\vec E \,\!$ apunta a la derecha y $d\vec {l} \,\!$ , que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:

Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:

$\vec E \, d\vec {l}\,\!=E \, dr \,\!$

Por lo cual:

$V_B-V_A=-\int_A^B \vec E \cdot d\vec {l}=-\int_{r_A}^{r_B}E \, dr \,\!$

Combinando esta expresión con la de E para una carga puntual se obtiene:

$V_B-V_A=-\frac{q}{4\pi \epsilon }\int_{r_A}^{r_B} \frac{dr}{r^2}=\frac{q}{4\pi \epsilon }\left ( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right ) \,\!$

Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que $r_A \to \infty \,\!$ , considerando que $V_A=0 \,\!$ en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:

$V=\frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{q}{r} \,\!$

Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual.

Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual

Potencial debido a dos cargas puntuales

El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto.

$V=\frac{1}{4\pi \epsilon } \frac{q_1}{r_1}+\frac{1}{4\pi \epsilon } \frac{q_2}{r_2}=\frac{1}{4\pi \epsilon }\left ( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right ) \,\!$

Siendo $r_1\,\!$ y $r_2\,\!$ las distancias entre las cargas $q_1\,\!$ y $q_2\,\!$ y el punto P respectivamente.

Potencial eléctrico generado por una distribución discreta de cargas

El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial $V_n \,\!$ debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:

$V=\sum_{n} V_n=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{n} \frac{q_n}{r_n} \,\!$

siendo $q_n \,\!$ el valor de la enésima carga y $r_n \,\!$ la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. En el gráfico se representa la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es:

$\frac{dx}{dy}= - \frac{E_y}{E_x} \,\!$

Potencial eléctrico generado por una distribución continua de carga

Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:

$V=\int dV =\frac{1}{4\pi{\epsilon}_0}\int \frac {dq}{r} \,\!$

siendo dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto.

Potencial eléctrico generado por un plano infinito

Un plano infinito con densidad de carga de superficie $\sigma \,\!$ crea un campo eléctrico saliente en la dirección perpendicular al plano de valor constante

$E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}. \,\!$

Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto x es igual a:

$V (x)= - \frac{\sigma x}{2 \epsilon_0}. \,\!$

Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0

Esfera conductora cargada

Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo neutro su interior.

Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es equivalente al creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera.

$V = \frac{K Q}{r}. \,\!$

donde $r \,\!$ es la distancia entre el centro de la corteza y el punto en el que medimos el potencial eléctrico.

Potencial en el interior de la corteza: El campo eléctrico en el interior de una esfera conductora es cero, de modo que el potencial permanece constante al valor que alcanza en su superficie.

$V = \frac{K Q}{R}. \,\!$

CAPACITANCIA

En electromagnetismo y electrónica, la capacitancia o capacidad eléctrica es la propiedad que tienen los cuerpos para mantener una carga eléctrica. La capacitancia también es una medida de la cantidad de energía eléctrica almacenada para una diferencia de potencial eléctrico dada. El dispositivo más común que almacena energía de esta forma es el condensador. La relación entre la diferencia de potencial (o tensión) existente entre las placas del condensador y la carga eléctrica almacenada en éste, se describe mediante la siguiente expresión matemática:

${C} = {Q \over V}$

donde:

$C\,$ es la capacidad, medida en faradios (en honor al físico experimental Michael Faraday); esta unidad es relativamente grande y suelen utilizarse submúltiplos como el microfaradio o picofaradio.
$Q\,$ es la carga eléctrica almacenada, medida en culombios;
$V\,$ es la diferencia de potencial (o tensión), medida en voltios.

Cabe destacar que la capacidad es siempre una cantidad positiva y que depende de la geometría del condensador considerado (de placas paralelas, cilíndrico, esférico). Otro factor del que depende es del dieléctrico que se introduzca entre las dos superficies del condensador. Cuanto mayor sea la constante dieléctrica del material no conductor introducido, mayor es la capacidad.

En la práctica, la dinámica eléctrica del condensador se expresa gracias a la siguiente ecuación diferencial, que se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación anterior.

${i} = \frac {dQ}{dt} = {C} \frac {dV}{dt}$

Donde i representa la corriente eléctrica, medida en amperios.

Energía

La energía almacenada en un condensador, medida en julios, es igual al trabajo realizado para cargarlo. Consideremos un condensador con una capacidad C, con una carga+q en una placa y -q en la otra. Para mover una pequeña cantidad de carga $\mathrm{d}q$ desde una placa hacia la otra en sentido contrario a la diferencia de potencial se debe realizar un trabajo $\mathrm{d}W$ :

$\mathrm{d}W = \frac{q}{C}\,\mathrm{d}q$

donde

W es el trabajo realizado, medido en julios;

q es la carga, medida en coulombios;

C es la capacitancia, medida en faradios.

Es decir, para cargar un condensador hay que realizar un trabajo y parte de este trabajo queda almacenado en forma de energía potencial electrostática. Se puede calcular la energía almacenada en un condensador integrando esta ecuación. Si se comienza con un condensador descargado (q = 0) y se mueven cargas desde una de las placas hacia la otra hasta que adquieran cargas +Q y -Q respectivamente, se debe realizar un trabajo W:

$W_{carga} = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} \, \mathrm{d}q = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}CV^2 = W_{almacenada}$

Combinando esta expresión con la ecuación de arriba para la capacidad, obtenemos:

$W_{almacenada} = \frac{1}{2} C V^2 = \frac {1}{2} \frac {Q^2}{C}$

donde

W es la energía, medida en julios;
C es la capacidad, medida en faradios;
V es la diferencia de potencial, medido en voltios;
Q es la carga almacenada, medida en coulombios.

Autocapacidad

Usualmente el término capacidad se utiliza como abreviatura del término capacidad mutua entre dos conductores cercanos, como las placas de un condensador. También existe una propiedad llamada auto-capacidad, que es la cantidad de carga eléctrica que debe agregarse a un conductor aislado para aumentar su potencial en un voltio, para así calcular la capacidad eléctrica mediante un condensador paralelo o plano.

FÍSICA I

martes, 29 de octubre de 2013

POTENCIAL ELÉCTRICO Y CAPACITANCIA

Trabajo eléctrico y energía potencial eléctrica